利用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

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尹六六老师
推荐于2017-12-16 · 知道合伙人教育行家
尹六六老师
知道合伙人教育行家
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百强高中数学竞赛教练, 大学教案评比第一名, 最受学生欢迎教

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设f(x)=lnx,则f'(x)=1/x
∵0<a<b
∴f(x)在[a,b]上连续,
在(a,b)内可导,
即满足拉格朗日中值定理的所有条件。

∴存在ξ∈(a,b),使得
f'(ξ)=1/ξ=[f(b)-f(a)]/(b-a)

∵0<a<ξ<b
∴1/b<1/ξ<1/a
∴1/b<[f(b)-f(a)]/(b-a)<1/a
∴(b-a)/b<f(b)-f(a)<(b-a)/a
追问
问: 求函数f(x)=x³-3x的单调区间和极值
追答
f'(x)=3(x+1)(x-1)
f'(x)=0
解得,x=±1
列表如下
x (-∞,-1) (-1,1) (1,+∞)
f'(x) + - +
f(x) ↗ ↘ ↗
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