Question

求曲线积分∫(x^2)ds,其中为球面x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z=0的交线

Answer 1

结果为：2πa³/3

解题过程如下：

解：

曲线投影到xOy面上

得到曲线x²+xy+y²＝a²/2

配方(x+y/2)²+3/4y²＝a²/2

令x+y/2＝√2/2acost

√3/2y＝√2/2asint

所以x=√2/2acost-√6/6asint

y=√6/3asint

z=-x-y=-√2/2acost-√6/6asint

t从0到2π

ds＝√[x'²+y'²+z'²]dt＝adt

所以，∫x²ds＝∫(0到2π) (√2/2acost-√6/6asint)²adt＝2πa³/3

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

Answer 2

解法一：根据轮换对称性，∫x²ds＝∫y²ds＝∫z²ds。
所以∫x²ds＝1/3∫(x²+y²+z²)ds＝1/3∫a²ds＝1/3×a²×2πa＝2πa³/3。
解法二：曲线投影到xOy面上，得到曲线x²+xy+y²＝a²/2，配方(x+y/2)²+3/4y²＝a²/2，令x+y/2＝√2/2acost，√3/2y＝√2/2asint，所以x=√2/2acost-√6/6asint，y=√6/3asint，z=-x-y=-√2/2acost-√6/6asint，t从0到2π。
ds＝√[x'²+y'²+z'²]dt＝adt。
所以，∫x²ds＝∫(0到2π) (√2/2acost-√6/6asint)²adt＝2πa³/3。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示