limn→∞1/n(1+2^1/2+3^1/3+……+n^1/n)=？
2个回答
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用夹逼定理
原式<lim(n->∞)(n^1/n+n^1/n+...+n^1/n)/n=lim(n->∞)n^1/n
y=n^(1/n)
lny=lnn/n
当n→∞时,lnn/n是∞/∞型,可以用洛必达法则
limn→∞lnn/n=limn→∞1/n=0
所以limn→∞n^(1/n)=e^0=1
原式又>lim(n->∞)(1+1+...+1)/n=1
因此由夹逼定理，极限为1
原式<lim(n->∞)(n^1/n+n^1/n+...+n^1/n)/n=lim(n->∞)n^1/n
y=n^(1/n)
lny=lnn/n
当n→∞时,lnn/n是∞/∞型,可以用洛必达法则
limn→∞lnn/n=limn→∞1/n=0
所以limn→∞n^(1/n)=e^0=1
原式又>lim(n->∞)(1+1+...+1)/n=1
因此由夹逼定理，极限为1
更多追问追答
追问
证明limn→∞lnn/n=0还有别的办法吗
追答
那就只能用定义来做了
先证明一个不等式:lnn0,x>4时,y'1/E²
∴取N=[1/E²],则当n>N时,有|lnn/n-0|<E,∴lim(n→∞)lnn/n=0
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