Question

等价关系具有哪些性质

Answer 1

等价关系具有自反、对称、传递的二元关系的性质。

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称a等价于b，记作 a ~ b 。

扩展资料：

研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

例如：同班同学关系、同乡关系是等价关系。平面几何中三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系。平面几何中直线间的平行关系是等价关系。

Answer 2

等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。常用等价关系来划分集合，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

基本信息
中文名
等价关系

外文名
equivalence relation

定义
集合上的一种特殊的二元关系

特性
自反性、对称性和传递性

用途
划分集合

定义
设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀a∈A,=>(a,a)∈R

对称性：(a,b)∈R∧a≠b=>(b,a)∈R

传递性：(a,b)∈R,(b,c)∈R=>(a,c)∈R

则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系，若(a,b)∈R，则称a等价于b，记作a~b。

应用
例一：

等价关系
等价关系
设A={1,4,7}，定义A上的关系R如下：

R={(a,b)|a,b∈A∧a≡bmod3}

其中a≡bmod 3叫做 a与b模3同余，即a除以3的余数与b除以3的余数相等。不难验证R为A上的等价关系。

设f是从A到B的一个函数，定义A上的关系R：aRb，当且仅当f(a)=f(b)，R是A上的等价关系。

例二：

设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为等价关系。设R为集合A上的等价关系，对任何a∈A,集合[a]={b|(a,b)∈R}称为元素a形成的等价类，其等价类集合{[a]|a∈A}，称作A关于R的商集，记作A/R。定理3.7.1设给定非空集合A上等价关系R，对于a,b∈A,有aRb当且仅当[a]=[b]。定理3.7.2集合A上的等价关系R，确定了A的一个划分，该划分就是商集A/R。定理3.7.3集合A的一个划分，确定A的元素间的一个等价关系。

Answer 3

反身性：
矩阵A和A等价
对称性：
矩阵A和B等价,那么B和A也等价
传递性：
矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价

Answer 4

等价关系具有哪些性质
自反 对称 传递的二元关系