Question

如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，以AB为斜边向三角形内部作Rt△ABE,且∠AEB=90°。

求证：（1）∠OAE=∠OBE；（2）AE=BE+√2OE.

Answer 1

（1）
∵AE⊥BE、AO⊥BO，∴A、B、E、O四点共圆，∴∠OAE＝∠OBE。

（2）
过O作OF⊥OE交AE于F。
∵AB⊥BC、AB＝BC、AO⊥AC，∴∠OBA＝45°。
∵A、B、E、O四点共圆，∴∠OEF＝∠OBA＝45°，而OF⊥OE，∴EF＝√2OE。
容易证得：OA＝OB、OF＝OE，又∠AOF＝∠BOE＝90°－∠BOF，
∴△OAF≌△OBE，∴AF＝BE。
于是：AE＝AF＋EF＝BE＋√2OE。