Question

一道几何题目

一道几何题目如图

Answer 1

令PE、AC相交于F；过C作CH∥PE分别交AB、BD于G、H；过O作OM⊥CD交CD于M。
∵OM⊥PM、OA⊥PA，∴O、P、A、M共圆，∴∠OPM＝∠OAM。
∵PE∥CH，∴∠OAM＝∠GCM，又∠OPM＝∠OAM，∴∠GCM＝∠OAM＝∠GAM，
∴G、C、A、MA共圆，∴∠BAC＝∠GAC＝∠GMC。
∵A、D、B、C共圆，∴∠BAC＝∠BDC，又∠BAC＝∠GMC，∴∠BDC＝∠GMC，
∴GM∥AD。
－－－－－
∵O是⊙O的圆心，又OM⊥CD，∴CM＝DM，又GM∥AD，∴CG＝HG。
∵FE∥CH、CG＝HG，∴FO＝EO，显然有AO＝BO，∴AEBF是平行四边形，∴AE∥CB。
∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而AE∥CB，∴AC⊥AE。

Answer 2

这是一道竞赛题吧？

追答

证明：连接BC交PE于点F，连接AF；过点C作CH//PE分别交AB、BD于点G和H；过点O作OM⊥PD于点M，连接GM、AM。
∵AB为⊙O的直径，PA切⊙O于点A⇒BA⊥PA。
∵OM⊥PD，
∴P、O、M、A四点共圆⇒∠EPD=∠OAM。
∵CH//PE⇒∠HCD=∠EPD。
∴∠HCD=∠OAM，即：∠GOM=∠GAM。
∴G、C、A、M四点共圆⇒∠CMG=∠CAB。
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CMG=∠CDB⇒GM//BD。
∵OM⊥PD⇒CM=DM。
∴CG=HG。
∵CH//PE，
∴FO=EO（平行线等分线段）。
∵AO=BO，
∴四边形AEBF是平行四边形⇒BC//AE。
∴∠BCA+∠CAE=180°。
∵AB为⊙O的直径⇒∠BCA=90°。
∴∠CAE=90°。
∴AC⊥AE。

Answer 3

这是一道难难题呀。