Question

高数题，判断y=x/1+x²在定义域内的有界性及单调性.

高数题，判断y=x/1+x²在定义域内的有界性及单调性.请尽可能给出详细步骤，谢谢啦。

Answer 1

1+x²恒>0，x取任意实数，函数表达式恒有意义，函数定义域为R

令f(x)=y=x/(1+x²)

f'(x)=y'=[x'(1+x²)-x(1+x²)']/(1+x²)²

=(1+x²-x·2x)/(1+x²)²

=(1-x²)/(1+x²)²

令f'(x)≥0

(1-x²)/(1+x²)²≥0

x²-1≤41020

-1≤x≤1

函数在[-1，1]上单调递增，在(-∞，-1]、[1，+∞)上单调递减。

因为(1-|x|)²≥0，所以|bai1+x²|≥2|x|，故|f(x)|=|x/(x²+1)|=2|x|/(2|1+x²|)≤1/2

对一切x∈(－∞，＋∞)都成立.因此函zhi数y＝x²/(x²＋1)在dao(－∞，＋∞)上是有界函数

扩展资料：

利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数的单调性的研究，有助于加深对函数知识的把握和深化，将一些实际问题转化为利用函数的单调性来处理。因此对函数单调性的讨论小仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。

1、利用函数单调性求最值

求函数的最大(小)值有多种方法，但基本的方法是通过函数的单调性来判定，特别是对于小可导的连续点，开区问或无穷区问内最大(小)值的分析，一般都用单调性来判定。

2、利用函数单调性证明不等式

首先，根据小等式的特点，构造一个单调函数；其次，判别此函数在某区问[a,b]上为单调函数；最后，由单调函数的定义得到我们要证明的小等式。

Answer 2

1+x²恒>0，x取任意实数，函数表达式恒有意义，函数定义域为R
令f(x)=y=x/(1+x²)
f'(x)=y'=[x'(1+x²)-x(1+x²)']/(1+x²)²
=(1+x²-x·2x)/(1+x²)²
=(1-x²)/(1+x²)²
令f'(x)≥0
(1-x²)/(1+x²)²≥0
x²-1≤0
-1≤x≤1
函数在[-1，1]上单调递增，在(-∞，-1]、[1，+∞)上单调递减。

追问

有界性呢？

Answer 3

你们知道负无穷到负一，和一到正无穷是单调递减的，而负一到一是递增的。由y'=1-x*x/(1+x*x)*(1+x*x)上下同除以x然后分母用基本不等式得最大值是1/2。画出其图像，可知，最小值就把x=负一和正无穷大代入得最小值为-1/2。写得不好见谅。

Answer 4

因为(1-|x|)²≥0，所以|1+x²|≥2|x|，故|f(x)|=|x/(x²+1)|=2|x|/(2|1+x²|)≤1/2
对一切x∈(－∞，＋∞)都成立.因此函数y＝x²/(x²＋1)在(－∞，＋∞)上是有界函数.