Question

计算曲面积分∫∫S 2dydz/x(cosx)^2+dzdx/(cosy)^2-dxdy/z(cosz)^2,其中S为球面x^2+y^2+z

计算曲面积分∫∫S 2dydz/x(cosx)^2+dzdx/(cosy)^2-dxdy/z(cosz)^2,其中S为球面x^2+y^2+z^2=1的外侧

Answer 1

=1/4

根据高斯公式

原式=∫∫∫(Ω)(2x+2y+2z)dxdydz

=2∫(0→1)dx∫(0→1-x)dy∫(0→1-x-y)(x+y+z)dz

=∫(0→1)dx∫(0→1-x)[1-(x+y)2]dy

=∫(0→1)(2/3-x+1/3x3)dx

=1/4

从几何上考虑

这是一个斜顶的圆柱体，所以当正面对斜顶的时候（实际是对yz面的投影），它的投影，指的是我们目光的投影，应该感觉到是一个矩形上边加一个半圆盘状图形（实际上是个半椭圆盘）。

但更重要的是应该感觉到这个柱面在投影时好像重复了（即这个面，投影过去是两个面的投影，更深一步的感觉，是后边的面的投影，是一个矩形上面加一个半圆盘，前面的投影是矩形缺一个半圆盘）。

Answer 2

根据高斯公式
原式=∫∫∫(Ω)(2x+2y+2z)dxdydz
=2∫(0→1)dx∫(0→1-x)dy∫(0→1-x-y)(x+y+z)dz
=∫(0→1)dx∫(0→1-x)[1-(x+y)2]dy
=∫(0→1)(2/3-x+1/3x3)dx
=1/4

Answer 3

结果4paitan1
用轮换对称性换后 直接算 不用什么高斯公式 2类曲面积分关系什么的