Question

计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x)dydz+(y+y^2)dzdx+(z)dxdy 其中s+为曲面z=x^2+y^2,0<=z<1 的下侧，详细点好

Answer 1

用高斯公式做，补充平面S‘：z=1，取上侧，则S+S’构成一闭曲面，对其使用公式公式，令P=x，Q=y+y^2，R=z，则ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz=3+2y，所以I+i'=∫∫∫(3+2y)dxdydz=3∫∫∫dxdydz+∫∫∫2ydxdydz，第一个积分=3∫dz∫∫dxdy=3∫πzdz=3π/2，第二个积分被积函数是关于y的奇函数，积分区域关于xoz平面对称，故积分=0，所以I+i'=3π/2。再计算l'，在z=1平面上dz=0，所以l'=∫∫dxdy=π，所以l=3π/2-π=π/2