Question

请问arctanx/(x²+2) 原函数怎么算？

请问arctanx/(x²+2) 原函数怎么算？以前算过arctanx/(1+x²)和arctanx/x²的原函数，前者比较好算，后者麻烦一点，但是还是能算出来，但是arctanx/(x²+2)的原函数呢？还有arctanx/x，这样的原函数怎么算？

Answer 1

根据公式 如图

追答

还要加c 忘了加c了……

Answer 2

大多数形式上看起来简单的函数，其原函数是没有解析形式的，你说的这两个几乎就是，所以数学家采用特殊的名字来表示一些常用的。
下面 I 是复数-1的一个根
arctanx/x的原函数：1/2 I (PolyLog[2, -I x] - PolyLog[2, I x])
arctanx/(x²+2)的原函数：
-(1/(4 Sqrt[2])) I (-4 I ArcTan[Sqrt[2]/x] ArcTan[x] - 2 I ArcCos[-3] ArcTan[x/Sqrt[ 2]] - (ArcCos[-3] + 2 ArcTan[x/Sqrt[2]]) Log[( 4 (-1 + Sqrt[2]) (-I + x))/(-2 I + Sqrt[2] x)] - (ArcCos[-3] - 2 ArcTan[x/Sqrt[2]]) Log[( 4 (1 + Sqrt[2]) (I + x))/(-2 I + Sqrt[2] x)] + (ArcCos[-3] - 2 ArcTan[Sqrt[2]/x] - 2 ArcTan[x/Sqrt[2]]) Log[( 2 I E^(-I ArcTan[x]))/Sqrt[ 3 + Cos[2 ArcTan[x]]]] + (ArcCos[-3] + 2 ArcTan[Sqrt[2]/x] + 2 ArcTan[x/Sqrt[2]]) Log[(2 I E^(I ArcTan[x]))/Sqrt[ 3 + Cos[2 ArcTan[x]]]] + I (-PolyLog[ 2, ((-3 + 2 Sqrt[2]) (2 I + Sqrt[2] x))/(-2 I + Sqrt[2] x)] + PolyLog[ 2, -(((3 + 2 Sqrt[2]) (2 I + Sqrt[2] x))/(-2 I + Sqrt[2] x))]))

追问

好复杂呀，就多加1就无解了？

追答

这个其实是没有解析解（初等函数表示），当然这个恐怕是不容易证明的。连续函数的原函数总是存在的。
就和方程的求根公式一样，一般的5次方程也没有公式解，形式上也可以很简单，比如 x^5+x+3=0，如果x^5+x+1=0就可以