Question

【导数问题】已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1.

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1.
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式
（2）函数f（x）在区间【-2，0】上单调递增，求实数b的取值范围。

Answer 1

f(x)=-x^3+ax^2+bx+c的导函数：f'(x)=-3x²+2ax+b
点p（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1.所以f'(1)=-3 => 2a+b=0 ①
点p（1，-2）满足f(x)解析式即f(1)=-2 => -1+a+b+c=-2 => a+b+c=-1 ②
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，则f'(-2)=0 => -12-4a+b=0 ③
①②③联立解得：a=-2,b=4,c=-3
f(x)表达式为f(x)=-x^3-2x²+4x-3
（2）由于2a+b=0，所以f'(x)=-3x²+2ax+b=-3x²-bx+b
函数f（x）在区间【-2，0】上单调递增,说明f'(x)在此区间大于零
即：f'(-2)=-12+2b+b>0 =>b>4
且f'(0)=b>0
所以实数b的取值范围是(4,+∞)

Answer 2

最小的数<b<最大的数