Question

弦长公式的推导和圆心到直线的距离公式的推导

Answer 1

假设直线为:Y=kx+b

圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2

假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)

则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

把y1=kx1+b.

y2=kx2+b分别带入,

则有：

AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2

=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2

=√1+k^2*│x1-x2│

证明AB=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

的方法也是一样的

证明方法二

d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2

这是两点间距离公式

因为直线

y=kx+b

所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)

将其带入

d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

得到

d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2

=√(1+k^2)(x1-x2)^2

=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2

=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2