可去间断点不一定可导。
可去间断点的条件不强，只要求函数值的左极限等于右极限。
可是可导的条件就强了，要求导数的左极限等于右极限。
不过对于你标题里说的问题，如果按照导数的通常定义（我简写：f（x+0）-f（x）/0）来说，可去间断点是不可导的，但是我们还可以定义广义可导。
简写成：f‘=lim（a-->0，b-->0）（f（x+a）-f（x-b））/（a+b）这样的话你就可以知道可去间断点还是有可能可导的 也就是你题目中说的情况。
几种常见类型：
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。
可去间断点不一定可导。
可去间断点的条件不强，只要求函数值的左极限等于右极限。
可是可导的条件就强了，要求导数的左极限等于右极限。
不过对于你标题里说的问题，如果按照导数的通常定义（我简写：f（x+0）－f（x）／0）来说，可去间断点是不可导的，但是我们还可以定义广义可导。
简写成：f‘＝lim（a-->0，b-->0）（f（x+a）－f（x-b））／（a+b）这样的话你就可以知道可去间断点还是有可能可导的也就是你题目中说的情况。
函数概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
1、自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
2、因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
3、函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
你的质疑其实很简单，以这样的函数为例
f（x）=x（x≠2）；0（x=2）
这样一个分段函数，x=2是这个函数的可去间断点。
你的想法估计是，在x=2的左右导数都是（x）'=1，左右导数相等，所以导数=1
感觉和可导必须连续的结论矛盾。
但是这样做是错误的，因为诸如（x）'=1这样的函数求导公式成立的条件就是x这样函数是定义域内处处连续的。
现在这个f（x）在x=2点处不连续了，就不能用（x）'=1这样的求导公式了。必须用导数的定义公式。
f'（2）=lim（x→2）[f（x）-f（2）]/（x-2）
=lim（x→2）（x-0）/（x-2）（注意，在这里f（2）不是由x计算出来的2，而是规定的f（2）=0）
这个极限，分子的极限是2，分母的极限是0，所以极限是无穷大，导数不存在。左右导数都是无穷大，都不存在。
第一题
