已知d是三角形abc内的一定点，且有角dac=角dcb=角dba=30度，求证三角形abc是正三角形
以C为原点,CD为x轴建立直角坐标系,设D(1,0),B(a√3/2,a/2),A(x,y),
则BD斜率k1=(a/2)/(a√3/2-1)=a/(a√3-2),
AB斜率k2=(a-2y)/(a√3-2x),
AC斜率k3=y/x,
AD斜率k4=y/(x-1),
其中a>2/√3,x>0>y,
由∠DAC=∠DBA=30°及到角公式得
(k2-k1)/(1+k2k1)=[(a-2y)/(a√3-2x)-a/(a√3-2)]/[1+(a-2y)/(a√3-2x)*a/(a√3-2)]=1/√3,
[(a-2y)(a√3-2)-a(a√3-2x)]√3=(a√3-2)(a√3-2x)+a(a-2y),
[-2a+(4-2a√3)y+2ax]√3=4a^2-2a√3+（4-2a√3)x-2ay,
(4√3-6a)y+2ax√3=4a^2+(4-2a√3)x-2ay,
(4√3-4a)y=(4-4a√3)x+4a^2,
y=[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a),①
(k3-k4)/(1+k3k4)=[y/x-y/(x-1)]/[1+y^2/(x^2-x)]=1/√3,
x^2-x+y^2+y√3=0,②
由①、②解出x,y.
把①代入②,x^2-x+[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a)*{[(1-a√3)x+a^2]/(√3-a)+√3}=0,
（x^2-x)(√3-a)^2+[(1-a√3)x+a^2][(1-a√3)x+a^2+3-a√3]=0,
（x^2-x)(3-2a√3+a^2)+(1-a√3)^2x^2+(1-a√3)(2a^2-a√3+3)x+a^4-√3a^3+3a^2=0,
(4a^2-4a√3+4)x^2+(-2√3a^3+4a^2-2√3a)x+a^4-√3a^3+3a^2=0,③
若△ABC是等边三角形,则③的根是a√3/2,
把x=a√3/2代入③,得
3a^4-3√3a^3+3a^2-3a^4+2√3a^3-3a^2+a^4-√3a^3+3a^2
=a^4-2√3a^3+3a^2=a^2(a-√3)^2=0,
仅当BC=a=√3时命题成立.可见,此命题是假命题.
