Question

跪求此题和函数！求过程！

Answer 1

解：设级数的和函数为f(x)，也即
∑ （n从1到∞）x^(2n-1)/(2n-1)=f(x)
则f'(x)=d[∑ （n从1到∞）x^(2n-1)/(2n-1)]/dx
=∑ （n从1到∞）d[x^(2n-1)/(2n-1)]/dx
=∑ （n从1到∞）(2n-1)*x^(2n-2)/(2n-1)]/dx
=∑ （n从1到∞）x^(2n-2)
=∑ （n从0到∞）x^(2n)
=∑ （n从0到∞）(x²)^n
显然，当0≤x²<1时，也即-1<x<1时，新幂级数收敛于
1*1/(1-x²)=1/(1-x²)，也即
f'(x)=1/(1-x²)
积分得f(x)=∫dx/(1-x²)=1/2*ln|(x+1)/(x-1)|+C
=1/2*ln[(x+1)/(1-x)]+C
令x=0，有f(0)=0=0+C
所以C=0
所以原幂级数的和函数是f(x)=1/2*ln[(x+1)/(1-x)]，当且仅当-1<x<1时收敛。