一道高二数学导数题,求解!谢谢!
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(1)设g(x)=(2x-1)ln(2x-1)+1/e,
f(x)=0在(3/5,(e^2+1)/2)上有实根,
<==>曲线y=g(x)与y=mx在(3/5,(e^2+1)/2)上有公共点。①
g'(x)=2ln(2x-1)+2=0,2x-1=1/e,x0=(1+1/e)/2,
3/5<x<x0时g'(x)<0,x0<x<(e^2+1)/2时g'(x)>0,
∴g(x0)=0为最小,
g(3/5)/(3/5)=(5/e-ln5)/3≈0.077,
g[(e^2+1)/2]/[(e^2+1)/2]=2(2e^3+1)/(e^3+e)>2,
∴①<==>0<=m<2(2e^3+1)/(e^3+e),为所求。
(2)f(x)=(2x-1)ln(2x-1)-mx+1/e在[1,3/2]上的最小值是-4+1/e,
设f'(x)=2ln(2x-1)+2-m=0的解为x1,满足2ln(2x-1)+2=m,②
x1∈[1,3/2]时f(x1)=(2x1-1)ln(2x1-1)-mx1+1/e=-4+1/e,
把②代入上式得(2x1-1)ln(2x1-1)-2x1ln(2x1-1)-2x1=-4,
∴ln(2x1-1)=4-2x1,
x1∈[1,3/2],ln(2x1-1)<=ln2,4-2x1>1,矛盾。
x<x1时f'(x)<0,x>x1时f'(x)>0,
∴x1<1时f(1)=-m+1/e=-4+1/e,m=4,与②矛盾。
x1>3/2时f(3/2)=2ln2-3m/2+1/e=-4+1/e,
2ln2+4=3m/2,m=(4/3)ln2+8/3.,为所求。
f(x)=0在(3/5,(e^2+1)/2)上有实根,
<==>曲线y=g(x)与y=mx在(3/5,(e^2+1)/2)上有公共点。①
g'(x)=2ln(2x-1)+2=0,2x-1=1/e,x0=(1+1/e)/2,
3/5<x<x0时g'(x)<0,x0<x<(e^2+1)/2时g'(x)>0,
∴g(x0)=0为最小,
g(3/5)/(3/5)=(5/e-ln5)/3≈0.077,
g[(e^2+1)/2]/[(e^2+1)/2]=2(2e^3+1)/(e^3+e)>2,
∴①<==>0<=m<2(2e^3+1)/(e^3+e),为所求。
(2)f(x)=(2x-1)ln(2x-1)-mx+1/e在[1,3/2]上的最小值是-4+1/e,
设f'(x)=2ln(2x-1)+2-m=0的解为x1,满足2ln(2x-1)+2=m,②
x1∈[1,3/2]时f(x1)=(2x1-1)ln(2x1-1)-mx1+1/e=-4+1/e,
把②代入上式得(2x1-1)ln(2x1-1)-2x1ln(2x1-1)-2x1=-4,
∴ln(2x1-1)=4-2x1,
x1∈[1,3/2],ln(2x1-1)<=ln2,4-2x1>1,矛盾。
x<x1时f'(x)<0,x>x1时f'(x)>0,
∴x1<1时f(1)=-m+1/e=-4+1/e,m=4,与②矛盾。
x1>3/2时f(3/2)=2ln2-3m/2+1/e=-4+1/e,
2ln2+4=3m/2,m=(4/3)ln2+8/3.,为所求。
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