证明不等式
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x<1时,要证e^x≤1/(1-x)
只需证:x<1时,(x-1)e^x+1≥0
设f(x)=(x-1)e^x+1,x<1
f'(x)=xe^x,
x∈(-∞,0),f'(x)<0,f(x)在其上单减
x∈(0,1),f'(x)>0,f(x)在其上单增
f'(0)=1,f(x)在x=0处取极小值,也是最小值
得x<1时,f(x)=(x-1)e^x+1≥f(0)=0
即x-1)e^x+1≥0
所以 x<1时,e^x≤1/(1-x)
只需证:x<1时,(x-1)e^x+1≥0
设f(x)=(x-1)e^x+1,x<1
f'(x)=xe^x,
x∈(-∞,0),f'(x)<0,f(x)在其上单减
x∈(0,1),f'(x)>0,f(x)在其上单增
f'(0)=1,f(x)在x=0处取极小值,也是最小值
得x<1时,f(x)=(x-1)e^x+1≥f(0)=0
即x-1)e^x+1≥0
所以 x<1时,e^x≤1/(1-x)
更多追问追答
追问
emmm第一行不是➖1嘛
追答
e^x≤1/(1-x),1-x>0
只需证:(1-x)e^x≤1
只需证:-(x-1)e^x≤1
只需证:(x-1)e^x≥-1
只需证:(x-1)e^x+1≥0
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