Question

设f(x)在x=x0的某邻域可导，且f'(x)=A ，则存在当x趋向于x0时limf'(x)等于A这个4号命题为什么是错的

另外一个命题3号，设fx在x=x0处连续，且x趋向于x0时limf'(x)等于A，则f'(x0)存在等于A是对的 我是这样理解的，fx在x=x0处连续，那x趋向于x0时limf（x）=f（x0），那f'(x)等于x趋向于x0时limfx-fx0/x-x0可以用洛必达化成limf'(x)那为什么4号命题是错的呢，设f(x)在x=x0的某邻域可导也可以推出来x趋向于x0时limf（x）=f（x0），那那f'(x)等于x趋向于x0时limfx-fx0/x-x0可以用洛必达化成limf'(x)并且都等于A啊
是不是f(x)在x=x0的某邻域可导指的是去心领域，推不出在X=X0处连续

Answer 1

唉,你要知道,导数f'(x)这个地方已经有一个极限符号了.现在要求导函数的极限,也就是说会有两个极限符号啊姐姐,你用洛必达只用了一次好吗?

函数可导,但导函数不一定连续的例子比比皆是,最经典的就是分段函数f(x)=x²sin(1/x),x≠0.f(x)=0,x=0.显然这个函数在x=0的邻域可导,并且有f'(0)=0.但导函数请你自己求一下,是2xsin(1/x)-cos(1/x),cos(1/x)当x→0时有极限吗没有,所以导函数在0这一点极限存在吗不存在.

追问

我知道函数可导，但导函数不一定连续啊，我只是纠结fx在某领域可导，不就是连续吗，那不就有limfx=fx0么，f'(x)=limfx-fx0/x-x0可以用洛必达化成limf'(x)么

追答

听懂人话好吗？我说导函数的极限是两个lim符号，你f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)，这个等式是在求f'(x0)，而不是在求limf'(x)听懂了吗？

如果你要再加一层极限符号，lim(x→x0)f'(x)，我们用f'(x)的定义，f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h，把f'(x)的表达式代到上面，是不是有两个极限符号？请你自己动手写过一遍，数学是靠写出来的，不是想出来的，思而不学则殆明白吗？

Answer 2

f'(x)=A确实可以写成
f'(x)=lim fx-fx0/x-x0
确实也可以尝试！！使用洛必达
f'(x)=lim f'(x)
洛必达等号成立的条件是极限存在或为无穷大。你无法判断极限是否存在，也就无法写等号了。
加油