Question

求函数在给定点处的全微分

求函数在给定点处的全微分12题第一问
详细步骤 写明白一点!!

Answer 1

dy = f'(x) dx， f'(x)为函数的导数，再将x值带入即可。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。

一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。

微分在日常生活中的应用：

即求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，在t=3时，想知道此时水加入的速率，于是可以算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。

Answer 2

如图

Answer 3

dz=∂z/∂x▪dx+∂z/∂y▪dy
=(4x³-8xy²）dx+(4y³-8x²y)dy
=-4dx-4dy.