Question

f(x)=f(x)(1+|sinx|) f(0)=0

设f(x)可导，F（x）=f(x)(1+|sinx|),若F（X）在点x=0处可导，则必有（？） 刚才看到知道上有相同问题的解答 但我认为是错的，因为在一点处的导数 需要用定义做

Answer 1

印象中这是同济版高数第六版的一个习题，好像是选择题，答案应该是：f(0)＝0

F(0)＝0，若F(x)在x＝0处可导，则左右导数存在且相等。
右导数＝lim(x→0+) (F(x)-F(0))/x＝lim(x→0+) [f(x)/x＋f(x)×sinx/x]，第二部分的极限是f(0)，所以第一部分的极限也应该存在，从而得lim(x→0+) f(x)＝0，所以f(0)＝0，所以F(x)在x＝0处的右导数＝f'(0)＋f(0)
同理，左导数＝f'(0)－f(0)
所以，f'(0)＋f(0)＝f'(0)－f(0)，得f(0)＝0

所以，F(x)在x＝0处可导的必要条件是f(0)＝0

由上面的解题过程可以看出，f(0)＝0也是充分条件

所以，答案是：f(0)＝0