Question

曲线积分。

Answer 1

这是一道第二类曲线积分的题目，此题的计算量难点在于dz方向上的函数，又是指数函数，又是反正切函数，单独这么个复合函数暴力求积分都会让人崩溃，更别说求三维曲线积分了。
所以必须想办法把这个纸老虎给干掉。
首先Z方向完全由x y方向导出，所以先代入降维，把z坐标干掉。
那么二维的曲线积分，能想到的就是"格林公式"了，如下图

把三段直线的积分化为一个正方形的积分＋一段的直线积分。
好像没怎么简化计算量嘛，其实不然，如下图

最后发现这两部分积分都刚好把纸老虎约掉了。神奇吧(其实这是出题者的套路)。
注意！如果你不用格林公式，去硬算，只有MN线段部分的纸老虎可以约掉，剩下的AM部分和NB部分必须想办法互相约了。
由于此题计算量较大，所以如果结果有误，请提出。

追答

其实此题我做复杂了，现在来分析为什么此积分的z分量能被约掉，如下图，z分量的被积函数(自变量为x,y,z的三元函数记为fz)可以化为一个只与z有关的函数，由于起点和终点A,B的高度z都是1，没有变化，所以变力在z方向上的分量函数fz在z方向上做的分量功为0。

这样直接把这个纸老虎解决掉后，计算量大大减少，如下图算出的结果是一样的。

Answer 2

第一类是对弧长积分，即定义在弧长上,没有方向.如求非密度均匀的线状物体质量。第二类是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分,有方向.如解决做功类问题。假设曲线正向，两者可互换，弧长元dscosθ=dx,dssinθ=dy,（cosθ,sinθ)是沿着正向曲线单位切向量。