Question

怎么用拉格朗日定理证明这题？

Answer 1

构造函数f(x)=arctan(x)
其导数为f'(x)=1/(1+x^2)
在[0,x]上利用拉格朗日定理
[arctan(x)-0]/(x-0)=1/(1+t^2)<1,可以证明右边的不等号
[arctan(x)-0]/(x-0)=1/(1+t^2)>1/(1+x^2)可以证明左边的不等号

Answer 2

符号说明：“∀”——对于任意的；“∃”——存在。
几个概念：
1）连续：对于定义域内的一点x₀，若∀ε>0，∃δ>0，使得：∀x，满足|x-x₀|<δ，都有|f(x)-f(x₀)|<ε，则称f(x)在x₀处连续。
2）下确界：集合E≄∅，b满足：∀x∈E，x≥b，且∀ε>0，∃x'∈E，使得，x'<b+ε，则称b是集合E的下确界。
准备定理：
1）确界存在定理：E是非空、有下界的集合，则E有下确界。
此定理非常重要，但在此证明中只是略有涉及，与你要掌握的内容关联不大，如果感兴趣，请参考 北大出版社 伍胜健 编写的《数学分析》第一册，里面有详细的介绍和证明。
2）零点定理：连续函数f(x)在〔a,b〕上连续，且 f(a)⋅f(b)<0，则∃c∈(a,b)，使得：f(c)=0.
此定理的证明，可以用到确界存在定理和有限覆盖定理。
Lagrange中值定理：f(x)在〔a,b〕上连续且在(a,b)处处可导，则∃ c∈(a,b)，使得：
f'(c)=(f(a)-f(b))/(a-b).
这个定理分成二个命题。
（1）罗尔定理：f(x)在〔a,b〕上连续，且在(a,b)上可导，f(a)=f(b)＝0，则∃c∈(a,b)，使得：f'(c)=0.
证明：假设：∀c∈(a,b)，f'(c)≄0.
若，∀c∈(a,b), f'(c)>0，则 f 在（a,b）上单调递增，于是，f在b点不连续，矛盾；同理，不可能发生 ∀c∈(a,b), f'(c)<0.
于是：∃a<x₁<x₂<b，使得：f(x₁) f(x₂)<0.
由零点定理，∃ c∈(x₁,x₂), f'(c)=0, 矛盾。
于是，上述命题成立。 ＃
（2）中值定理的证明。
证明：取F(x)=(f(b)-f(a))/(b-a) ⋅ (x-a) + f(a) - f(x). ——这样的函数构造非常有用。
可验证：F(a)=F(b)=0.
于是，由罗尔定理，∃c∈(a,b)，使得：
F'(c)= 0 =(f(b)-f(a))/(b-a) - f'(c).
则：f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
定理证明完毕。 ＃