Question

急~今晚要~！在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．

在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）． BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N.
（1）设AE＝x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

很急~拜托啦~~！

Answer 1

解答要点：
1）
延长DC到F，使CF＝AE，连接BF，设BE、MN交于G点
显然△ABE≌△CBF（SAS），BE＝√(x^2＋4)，BG＝[√(x^2＋4)]/2
所以∠F＝∠AEB
因为∠D＋∠EGN＝90°＋90°＝180°
所以∠DNM＋∠DEG＝180°
因为∠AEB＋∠DEG＝180°
所以∠AEB＝∠DNM
所以∠F＝∠DNM
所以MN//BF
又因为MB//NF
所以四边形MNFB是平行四边形
所以S四边形MNFB＝BM*BC
显然△BAE∽△BGM
所以BM/BE＝BG/BA
所以可得BM＝(x^2＋4)/4
所以
S＝S正方形ABCD＋S△BCF－S四边形MNFB
＝4＋x－(x^2＋4)/2
所以S＝－x^2/2＋x＋2
2）
因为
S＝－x^2/2＋x＋2
＝－(x－1)^2/2 ＋5/2
所以当x＝1/2时，S最大
S最大值＝5/2

另外，也可以用下面的解答方法，似乎更简单一点：
过M作MH//BC，垂足为H，
先证明△MHN≌△BAE，得HN＝AE＝x
再计算出BM＝(x^2＋4)/4
从而
S＝S正方形ABCD－S矩形BCHM＋S△MNH
＝4－2*(x^2＋4)/4＋x
＝－x^2/2＋x＋2
＝－(x－1)^2/2 ＋5/2
...

江苏吴云超祝你学习进步
（另外几位的解答也不错，我的供参考了）

Answer 2

设BE中点为F,MN延长线与BC延长线交于点G
AE=x，AB=2，则BE=(4+x平方)^0.5，BF=BE*1/2
BF =[(4+x平方)^0.5]/2

由于MN（MG）是BE中垂线，可以得出
三角形ABE相似于三角形FBM相似于三角形BGM相似于三角形NCG（楼主你自己画个图吧，说白了这里边差不多所有的直角三角形都相似. . . . . . ）

由以上相似三角形关系
BF/BM=BA/BE
BF/BM=2/[(4+x平方)^0.5]
所以BM=(x^2 + 4)/4
BM/BG=AE/AB=x/2
则BG=(x^2 + 4)/2x
CG + CB =BG
CG = BG -2 = [(x^2 + 4)/2x] -2
NC/CG = BM/BG = AE/AB =x/2
NC = [(x-2)^2]/4

这时看梯形MBCN的面积
S梯MBCN = (NC+MB)*BC/2 = NC+MB = (x^2-2x+4)/2
= [(x-1)^2+3]/2
S梯AMND = S正ABCD- S梯MBCN
=4-[(x-1)^2+3]/2
= [5-(x-1)^2]/2
这就是函数关系式了

第二问可以从上面那个关系式看出，x=1时，S梯AMND有最大值2.5

顺便说一句，当E与D重合时，四边形（梯形）变成三角形(按对角线平分正方形)，x=2，面积2；当E与A重合时四边形（梯形）变成一个长方形（按中线平分正方形），x=2，面积2。

祝你学习天天向上，加油！！！！！！！！！！！

Answer 3

解：（1）连结ME,NE,NB,设AM=a，DN=b，NC=2-b
因MN垂直平分BE
则，ME=MB=2-a，NE=NB
所以由勾股定理得
AM²+AE²=ME²,DN²+DE²=NE²=BN²=BC²+CN²
即a²+x²=（2-a）²,b²+（2-x）²=2²+（2-b）²
解得a=1-x²/4，b=1+x-x²/4
所以四边形ADNM的面积为S=（a+b）*2/2=（1-x²/4+1+x-x²/4）*2/2=2+x-x²/2
即S关于x的函数关系为S=2+x-x²/2，（0＜x＜2）

（2）把S=2+x-x²/2，（0＜x＜2）配方
S=2+x-x²/2
=-1/2（x-1）²+5/2
所以，当x=1时，S有最大值5/2
即当AE为1时，四边形ADNM的面积最大，最大值是5/2

Answer 4

由题意可得AM2+AE2=ME2=BM2即AM2+x2=(AB-AM)2=(2-AM)2可得AM=(4-x2)/4
再由EN=BN得DE2+DN2=EN2=BN2=BC2-CN2即（2-x)2+DN2=(2)2-(2-DN)2可得DN=(4+4x-x2)/4
S=(AM+DN)*AD/2=[(4-x2)/4+(4+4x-x2)/4]*2/2
=5/2-1/2(x-1)2
当x=1时，S最大，为5/2

Answer 5

A点坐标为（0，0），B点坐标（2，0）
则E点坐标为（0，x），M点坐标为（m，0），N点坐标（2，n）
设BE与MN交点为F，则F点坐标（1，x/2）
知F点在MN上，则得到方程一：（Ny-Fy）/（Nx-Fx）=（My-Fy）/（Mx-Fx）
知MN与BE垂直，则MN与BE的斜率的积为-1，
则有方程组二：（Ny-My）/（Nx-Mx）=-（By-Ey）/（Bx-Ex）
代入坐标得到：n=m+x
m=1-x^2/4
梯形面积为S=1/2*2*（m+n）=m+n
将上方程组代入，得S=2+x-x^2/2=2+1/2*x（2-x）
当x=（2-x）时，S有最大值
这时
S=2.5
x=1