设级数∑an绝对收敛,证明:由∑an的所有正项组成的级数绝对收敛,所有负项组成的级数也收敛
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简单分析一下，详情如图所示
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1.快速判断法
若级数∑An绝对收敛
即级数∑│An│收敛,
设Sn= │A1│+│A2│+│A3│+...+│An│
即当n→+∞时,limSn存在
因为数列{Bn}有界
所以存在正数M,使│Bn│≤M
设Tn=│A1*B1│+│A2*B2│+│A3*B3│+...+│An*Bn│
则Tn≤[│A1│+│A2│+│A3│+...+│An│]*M = M*Sn
从而Tn递增有上界,
所以当n→+∞时,limTn存在
即级数∑（AnBn）绝对收敛.
cheng 09-03-08 1
若级数∑An绝对收敛
即级数∑│An│收敛,
设Sn= │A1│+│A2│+│A3│+...+│An│
即当n→+∞时,limSn存在
因为数列{Bn}有界
所以存在正数M,使│Bn│≤M
设Tn=│A1*B1│+│A2*B2│+│A3*B3│+...+│An*Bn│
则Tn≤[│A1│+│A2│+│A3│+...+│An│]*M = M*Sn
从而Tn递增有上界,
所以当n→+∞时,limTn存在
即级数∑（AnBn）绝对收敛.
cheng 09-03-08 1
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