Question

沈括和他的隙积术是什么？

Answer 1

沈括（公元1031～1095）是我国古代卓越的科学家，他出生于钱塘（杭州）。有一天，他和朋友在一家酒店喝酒时，看到院子里整整齐齐放着一堆酒坛。

“你猜，这堆酒坛有多少个？”朋友好奇地问，“一共有122个。”沈括沉思了一会儿回答。

后来，他的朋友把这堆酒坛搬开来，一个一个点了一下，果然一个不多，一个不少，恰好是122个，猜得真准呀！

原来他是计算出来的，因为酒坛叠得很有规律：每一层都排成长方形，而且下一层比上一层长、宽各增加一个，这堆酒坛有4层，他数得最上面一层长为5个，宽为3个，以下每层依次为6×4个，7×5个，8×6个，合计

5×3+6×4+7×5+8×6=122（个）。

一般地，假定共有n层，最上面一层为ab个，则以下每层依次为（a+1）（b+1）个，（a+2）（b+2）个，…，［a+（n-1）］［b+（n-1）］个。所以这堆酒坛的总数为

S=ab+（a+1）（b+1）+（a+2）（b+2）+…+［a+（n-1）］［b+（n-1）］。

下面我们来进行推导：

ab=ab，

（a+1）（b+1）=ab+1×（a+b）+12，

（a+2）（b+2）=ab+2×（a+b）+22，

……

［a+（n-1）］［b+（n-1）］=ab+（n-1）（a+b）+（n-1）2，

∴S=nab+A（a+b）+B。

其中，A=1+2+…+（n-1）=n（n-1）2，

B=12+22+…+（n-1）2=n（n-1）（2n-1）6。

∴S=nab+n（n-1）2（a+b）+n（n-1）（2n-1）6

=n6［6ab+3（n-1）（a+b）+（n-1）（2n-1）］。

沈括认为通常求体积的各种公式，作为计算对象的形体都是实心的，但他的问题却是形体中间有空隙，因此就把这个方法称为隙积术了，不过，当时沈括把最上面一层的长和宽的个数分别记作a和b，最底下一层的长和宽的个数分别记作c和d，共n层，因此他得到的公式是

S=n6［（2b+d）a+（b+2d）c］+n6+（c-a）