Question

证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b

证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b

Answer 1

证明：令f(x)=x-asinx-b。

那么f(0)=-b，因为b＞0，则f(0)=-b＜0，

又f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b

=a-asin(a+b)=a(1-sin(a+b))

因为sin(a+b)≤1，那么f(a+b)=a(1-sin(a+b))≥0

当f(a+b)=0时，即方程x=asinx+b的正根为x=a+b＞0，

当f(a+b)＞0时，由于f(0)＜0，即f(0)*f(a+b)＜0，

那么根据零值定理，可知存在η∈(0,a+b)，使f(η)=0，

即方程x=asinx+b存在一个η∈(0,a+b)使等式成立。

综上所述，即可证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b。

扩展资料：

1、设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

2、零值定理的几何意义

在[a,b]上连续的曲线，如果f(a)*f(b)<0，则此函数与X轴y=0在[a，b]内至少相交于一点。

参考资料来源：百度百科-零值定理

Answer 2

证:令 f(x)=x-asinx-b，则函数f(x)在闭区间[0,a+b]上连续
且 f(0) = -b＜0，f(a+b) = a(1 - sinx)≥0

当f(a+b) = 0 ，易得 x = a+b;

当f(a+b)＞0 ，由根的存在定理，至少存在一点ζ∈（0，a+b),使得 f(ζ) = 0

所以方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b

Answer 3

解答：
方程x=asinx+b(a>0,b>0)
可以看作是函数y=x-b与函数y=asinx的图像交点

sinx∈[-1,1]
∵a＞0，b＞0
∴asinx∈[-a,a]，且a+b＞0
asinx+b∈[b-a,b+a]

∴方程x=asinx+b至少有一正根，且≤a+b.

Answer 4

x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根，并且它不超过a+b

证明：构造函数 f(x)=asinx+b-x，a>0，b>0，根据初等函数的性质f是连续的。

在区间[-a+b，a+b]上
f（-a+b）=asin（-a+b） +a >=0
f（a+b）=asin（a+b）-a <=0

这说明函数至少有零点落在区间[-a+b，a+b]。

不妨设还存在t>a+b 使得f（t）=0

也就是asint+b=t>a+b
因为sint∈[-1，-1]，a>0，b>0
所以asint+b<a+b 矛盾，所以假设不成立。

故结论证毕。

Answer 5

证明：y=x 和 y=asinx+b

有图形可知道他们的定义域都是R，
y=x 的值域是R 它包含了y=asinx+b 的值域[a-b,a+b]或者[b-a,a+b]
所以他们肯定有交点

那个根是焦点肯定也不不会超过a+b