Question

证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 1

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法1】

延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），

    AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴AB=CE，∠B=∠DCE，

∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）

∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC=AE，

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

【证法2】

取AC的中点E，连接DE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

【证法3】

延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

∵∠BAC=90°，

∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），

∴AE=BC（矩形对角线相等），

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

Answer 2

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是的...因为直角三角形三个顶点都在原上..斜边就是原的直径中线是原的半径所以直角三角形斜边的中线是否等于斜边的一半
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设Rt三角形ABC(A为直角),将其补为矩形ABCD,连接BC中点P与D,则:
根据矩形性质,AP为对角线一半,BC为对角线,
所以,Rt三角形斜边上中线=斜边一半

Answer 3

画个长方形
连接对角线
则有直角三角形
因为长方形对角线互相平分
所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 4