Question

y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域

Answer 1

一楼的解法过繁，二楼的做法中少了t=-1,即sinx+cosx+1=0的情况。
我有一个简单而且正确的方法：
注意到：(1+sinx+cosx)(1-sinx-cosx)=1-(sinx+cosx)^2=-2sinxcosx
……①,所以：
（1）当1+sinx+cosx＝0时容易知道sinx,cosx中有一个是0。此时(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝0。
（2）当1+sinx+cosx≠0时，由①式(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝-1/2*(1-sinx-cosx)=-1/2+(sinx+cosx)/2.
而由于sinx+cosx=√2*sin(x+π/4),所以-√2≤sinx+cosx≤√2.因此-(√2+1)/2≤-1/2+(sinx+cosx)/2≤(√2-1)/2。
综上所述，y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域是[-(√2+1)/2,(√2-1)/2].