Question

设随机变量X,Y相互独立,且都服从[0,1]上均匀分布,求X+Y的概率密度

都服从[0,1]上的均匀分布
所以X概率密度是1，Y概率密度是1
因为X,Y相互独立
所以P(XY)=P(X)P(Y)
设Z=X+Y
当0<Z<1时
积分∫∫1 dxdy 0<y<z-x,0<x<z
=z^2/2
求导得z
当1<Z<2时
积分∫∫1 dxdy 积分域0<y<1,0<x<z-1与0<y<z-x,z-1<x<1
=z-1+z-z^2/2
求导得2-z
所以概率密度是
f(Z)=2-z 1<z<2
z 0<z<1
0 其他

其中我的问题是为什么X和Y的取值0<y<1,0<x<z-1与0<y<z-x,z-1<x<1

Answer 1

0<y<1,0<x<z-1与0<y<z-x,z-1<x<1是分情况的把积分域给包括了
因为要求F(Z)的值，也就是求Z的分布函数，然后对F(Z)进行微分，得到f(z)就是z的概率密度
就要对f(x,y)在区域0<X<1,0<Y<1,X+Y<Z内进行积分，由于Z的取值是[0,2]，所以要包括这个趋于。你自己画一个坐标图就很清楚了。
在0<Z<1时，积分域D可以表示为0<y<z-x,0<x<z；

在当1<Z<2时，积分域D可以表示为0<y<1,0<x<z-1与0<y<z-x,z-1<x<1
这是把积分域分割为两个部分，一个部分是0到1，对应的积分域就是0<y<1,0<x<z-1；另一个部分是1到Z，对应的区域就是0<y<z-x,z-1<x<1
这个似乎就是你提问的部分，你可以自己画一个图，看了图就很清楚了

Answer 2

0<z<1时，F（Z）=Z^2/2，f（z）=F‘（Z）=z
1<Z<2时，F（Z）=Z^2/2-（Z-1）^2/2*2=2Z-Z^2/2-1;f(z)=F'(Z)=2-z
其他，f（z）=0

Answer 3

X,Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布-->f(x,y)=1
F(z)=P(x+y

Answer 4

你猜

Answer 5

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