Question

已知,等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,D是BC的中点,CE垂直AD于F交AB于E，求证：角CDF=角BDE

Answer 1

证法一：
过C作CF⊥AB分别交AD、AB于G、F。
∵等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，且∠CAB＝∠B＝45°。
∵CF⊥AB，∠CAB＝∠B＝45°，∴∠ACG＝∠DCG＝45°。
∵AC⊥CD、CF⊥AD，∴∠CAG＝∠BCE。［同是∠ADC的余角］
又AC＝CB、∠ACG＝∠B=45°，∴△ACG≌△CBE，∴CG＝BE，
结合∠DCG＝∠B＝45°，CD＝BD，得：△CDG≌△BDE，∴∠CDF＝∠BDE。
证法二：见参考资料，对相应的字母调整一下就可以了。

Answer 2

作CN⊥AB交AB于N，交AD于M，
∵AC=BC，
∠CAM=∠BCE（它们都和∠ACF互余）
∠ACN=∠B=45°，
∴△CAM≌△BCE（A，S，A）
∴CM=BE，
又CD=BD，
∠MCD=∠B=45°，
∴△MCD≌△EBD，（S，A，S）
∴∠CDF=∠BDE

Answer 3

过C作CF⊥AB分别交AD、AB于G、F。
∵等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，且∠CAB＝∠B＝45°。
∵CF⊥AB，∠CAB＝∠B＝45°，∴∠ACG＝∠DCG＝45°。
∵AC⊥CD、CF⊥AD，∴∠CAG＝∠BCE。［同是∠ADC的余角］
又AC＝CB、∠ACG＝∠B=45°，∴△ACG≌△CBE，∴CG＝BE，
结合∠DCG＝∠B＝45°，CD＝BD，得：△CDG≌△BDE，∴∠CDF＝∠BDE。