求级数n!(2/n)^nsin(nπ/7)的敛散性
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该级数收敛，简单分析一下，详情如图
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解：∵n→∞时，sin(π/2^n)~π/2^n，∴级数∑nsin(π/2^n)与∑n(π/2^n)有相同的敛散性。
又，∑n(π/2^n)=π∑n/2^n=(π/2)∑n(1/2)^(n-1)，可视作“级数∑x^n”的导函数在x=1/2时的值，而x=1/2时级数∑x^n收敛，∴∑n(π/2^n)收敛。故，∑nsin(π/2^n)收敛。
供参考。
又，∑n(π/2^n)=π∑n/2^n=(π/2)∑n(1/2)^(n-1)，可视作“级数∑x^n”的导函数在x=1/2时的值，而x=1/2时级数∑x^n收敛，∴∑n(π/2^n)收敛。故，∑nsin(π/2^n)收敛。
供参考。
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因为|nsin(nπ/3)]/3^n
|又lim(n->无穷大)[(n+1)/3^(n+1)
]/[n/3^n
]=1/3由比值审敛法，比较审敛法知原级数收敛
|又lim(n->无穷大)[(n+1)/3^(n+1)
]/[n/3^n
]=1/3由比值审敛法，比较审敛法知原级数收敛
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