Question

求级数(n!)^2／(2n)!的敛散性

Answer 1

解：
(2n)! = 2^n *(n!)* [ 1*3*5*(2n-1) ]

∴ lim (n→∞) [ (n!)^2/ (2n)! ]

= lim (n→∞) (n!)^2 / { 2^n *(n!)* [ 1*3*5*...(2n-1) ] }

= lim (n→∞) { (n!) / [ 2^n*1*3*5*...(2n-1) ]

= lim (n→∞) (1/ 2^n ) * { ( 1*2*3...n ) / [ 1*3*5*(2n-1) ] }

= lim (n→∞) (1/2)^n *{ 1/1* 2/3*3/5. ... n/(2n-1) }

= (0)*( <1 ) ............... (1/2)^n → 0
=0

追问

级数的通项趋于零，又不能说明级数收敛。这题是用比值判别法做的

追答

n趋于无穷，极限存在，不说明收敛么？我再想想比值判别法

n趋于无穷，极限存在，不说明收敛么？我再想想比值判别法

追问

不对啊，对于 Un来说，n趋于无穷，极限存在，那么是收敛的，但是对于级数 Un来说，却不是。比如1／n收敛于0，但是级数1/n却是发散的。

追答

嗯 你说得对，我把概念弄混了
判定收敛性貌似更简单，
第n+1项除以第n项

上面分子应该剩下（n+1）^2
下面分母应该剩下(2n+2)(2n+1)=2(n+1)(2n+1)
那么比值应该是(n+1)/2(2n+1) 极限1/4 小于1

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示