Question

证明数列{n}有下界,无上界

Answer 1

有下界：n>=0,0即为数列{n}的下界。无上界：对任意大的正数M，取n=M的整数部分+1，则n>M，可知M不是上界，因此数列{n}无上界。

数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用a表示。

著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

Answer 2

证明思路：证明其有下界，是一个存在性问题，只要能找到一个即可；证明它无上界应使用反证法。
符号说明：数列{n}中的第n项表示为a(n)=n。
证明：
1）证明数列{n}有下界。
取
bd=0,
则
这个数列中的任意项a(n)=n>=
bd,
从而
数列{n}有下界；
2）证明数列{n}无上界。
假设数列{n}存在上界，设bu=m>0为它的一个上界，则根据上界的定义，有对任意n，a(n)<=m。取l=[m]为不超过m的最大整数，其中[
]为取整函数，则l+1是正整数（从而是数列{n}中的项），我们有a(l+1)=l+1>m，这与任意a(n)<=m矛盾。证毕。

Answer 3

(1)有下界：n>=0，0即为数列{n}的下界
(2)无上界：对任意大的正数M，取n=M的整数部分+1，则n>M，可知M不是上界，因此数列{n}无上界。