Question

数列的综合问题（中等偏难）

Answer 1

1.设圆心到直线的高为E
所以由勾股定理有OA^2=AE^2+OE^2
即2an+n-2-(|-根号2n/根号2|)^2=1/4|AB|^2

an+1=2an+2
由于a1已经给出
可以这样求2an+1=4an+4
4an=8an-1+8
...最后都相加可求出an=

3*2^n-2
(2)bn=(an+2)n/3=n*2^n
bn=n*2^n
bn-1=(n-1)*2^n
....最后相加有b1+b2+b3+..bn=Sn=n(2^n+2^n-1+2^n-2+...+2^2+2^1)-2^n-1-2*2^n-2-3*2^n-3-。。。-（n-1）2^1
(2^n-1-2*2^n-2-3*2^n-3-。。。-（n-1）2^1 这个跟你说明下，设它们和Sn,在来个2式，最后2个式子相减即可得Sn)
（2）题最后结果为（n-1）(2^n+1-2)+2n

2.这个求anbn是典型的解法
yx^2+y=x^2-x+n
(y-1)x^2+x+y-n=0
b^2-4ac>=0 所以1-4（y-1）(y-n)>=0

化为4y^2-4(n+1)y+4n-1<=0
用x1x2=c/a=(4n-1)/4
可求的cn=4n-3
(2)Sn=c1+c2+c3+..+cn=2n^2-n由dn=Sn/n+c
由dn为等差数列，且2d2=d1+d3
最后求的c=-1/2(3)f(n)=dn/(n+36)dn+1=1/(n+37+36/n)
当且仅当n=36/n时时n+37+36/n取得最小值49
即1/(n+37+36/n)
取得最大值1/49