高数函数的极限中的定理1怎么证明
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必要性:设lim(x→x0)f(x)=a,则对任意正数ε,存在正数δ,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε。从而当x0-δ<x<x0时,有|f(x)-a|<ε,故lim(x→x0-)f(x)=a;同样当x0<x<x0+δ时,有|f(x)-a|<ε,所以lim(x→x0+)f(x)=a。
充分性:设lim(x→x0-)f(x)=lim(x→x0+)f(x)=a,则对任意正数ε,分别存在正数δ1和δ2,当x0-δ1<x<x0时,有|f(x)-a|<ε;当x0<x<x0+δ2时,有|f(x)-a|<ε。取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε,即lim(x→x0)f(x)=a
充分性:设lim(x→x0-)f(x)=lim(x→x0+)f(x)=a,则对任意正数ε,分别存在正数δ1和δ2,当x0-δ1<x<x0时,有|f(x)-a|<ε;当x0<x<x0+δ2时,有|f(x)-a|<ε。取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε,即lim(x→x0)f(x)=a
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