Question

设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，且在(0,+∞)内有f(x)＜0,f'(x)＞0,则在？

设函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，且在(0,+∞)内有f(x)＜0,f'(x)＞0,则在(-∞，+∞)内f(x)的单调性为？
答案给的是单调递增，但我认为无法确定在x=0点附近f(x)依然递增，比如y=-1/x符合已知要求，但它在整个定义域上算是单调递增吗？求路过的大神指点

Answer 1

这是一个错误的结论。你的理解是正确的，并且例子给出的很好。题目给出的条件下得不出在整个数轴上是单调增加的。

就是增加条件：f(x)在x=0连续，也得不出结论。
证明：因为是奇函数，故f(0)=0,当x>0时，由微分中值定理 f(x)-f(0)=f'(c)x>0,故f(x)>0,与题目条件f(x)<0矛盾。

题目改成：设函数f(x)在(-∞，+∞)上是连续的奇函数，且在(0,+∞)内有f(x)>0,f'(x)＞0,则在(-∞，+∞)内f(x)为单调增加的。
证明：如果a>b≥0,则 f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)>0,有f(a)>f(b),f(x)在[0,+∞)单调增加。
如果a<b≤0,f(b)-f(a)=-[f(-b)-f(-a)]=-[f'(c)(-b-(-a)]=f'(c)(b-a)>0,(c属于(-b,-a))
故有f(b)>f(a)，f(x)在（-∞,0]单调增加。
如果a<0<b,f(b)-f(a)=f(b)-f(0)+(f(0)-f(a))>0,故f(b)>f(a)
所以f(x)在(-∞,+∞)单调增加。

Answer 2

在这里f(0)=0你举例子y=-1/x,在x=0处没有定义。你的原题正确吗？，你在看看。

Answer 3

在0-正无穷上f（x）小于0且导数大于0可以推出在0-正无穷上递增，根据奇函数图像性质，在负无穷到0上也是递增的。您说的-1/x这个函数定义域为负无穷到0，0到正无穷，它在0处不连续。根据单调性定义是它在某个定义域区间上是单调递增的。