Question

已知函数f(x)=|x-a|+a2•x，其中a为常数，若函数f(x)存在最小值的...

已知函数f(x)=|x-a|+a2•x，其中a为常数，若函数f(x)存在最小值的充要条件是a∈A. (1)集合A=[-1，1][-1，1]; (2)若当a∈A时，函数f(x)的最小值为18，则a=1212.

Answer 1

解答:解:(1)若x≥a时，f(x)=(a2+1)x-a，此时函数单调递增，.
若x＜a时，f(x)=(a2-1)x+a，
如果函数f(x)存在最小值，
则f(x)在(-∞，a)上是减函数或常数.
得a2-1≤0，即-1≤a≤1，
故f(x)存在最小值的充要条件是-1≤a≤1，即[-1，1]，那么a范围是[-1，1].
(2)由(1)知f(x)min=f(a)=a3，
若函数f(x)的最小值为
1
8
，
则a3=
1
8
，解得a=
1
2
.
故答案为:(1)[-1，1]，(2)
1
2
.