Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC,AB=BC,E是AB的中点，CE⊥BD。

求证：（1）：BE=AD （2）：AC是线段ED的垂直平分线 （3）：△DBC是等腰三角形吗?并说明理由

Answer 1

(1)∵∠ADC+∠DCB=180°,
∠DCB=75°
∴∠ADC=105°
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∠EDC=60°
∴∠ADE=105°-60°=45°
(2)
取DE中点G，分别连接AG,DG
∵∠EAD=90°,
∠ADE=45°
∴△EAD是等腰直角三角形
∴AE=AD
∴AG⊥DE
∵△ECD是等边三角形
∴CG⊥DE
∴点A,G,C三点在同一条直线上
此时，在△ABC中，∠B=90°,
∠BAC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴AB=BC
(3)
延长EB至H，使得EB=BH，连接CH
∵∠EBC=90°,
∠ECB=15°
∴∠ECH=2∠ECB=30°,
∠HEC=∠EHC=75°
∵∠FBC=30°,∠DCB=75°
∴∠BFC=75°
∴△ECH与△FBC相似
∴FC/2EB=BC/CE
∴FC=2EB*BC/CE=2*BE*cos15°=2*EC*sin15°*cos15°
∴FC/DC=FC/EC=2*sin15°*cos15°=sin30°=1/2
∴DF/FC=1