Question

为什么(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2<2,就是钝角三角形呢？

如题，谢谢啦～～

Answer 1

首先，当三角形是直角时，这个(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2

当最大的角扩大时，这个角的正弦值缩小。同时，导致剩余两个角至少一个也减小（暂时不考虑一方扩大，一方缩小的情况），导致这种从直角三角形出发，扩大其直角，而缩小其任意一个锐角的角度所生成的三角形的该值小于2。
然后证明任何一个钝角三角形都是可以由直角三角形进行该转换所得到的。
我们知道直角三角形的其中一个锐角的取值范围0<a<90，而另一个锐角的角度可以完全由该角度确定。注意也就是说这个角可以是任何锐角。
对于任何一个目标的钝角三角形，我们构造一个直角三角形，它的其中一个锐角的角度等于该钝角三角形的角度。
这时候进行以上说的变换，保持这个和钝角三角形的角度相同的角度不变，扩大其直角到要求的钝角，则由于三角和内角180，可以断定两个三角形拥有相同的内角性质，而根据前面的推断，该钝角三角形的该公式值小于2。

证毕。
暂时没有想出三角公式变换解决的方法。

惭愧，我证明的是钝角三角形一定有不等式成立，而不是不等式成立一定是钝角三角形。

希望对你有所帮助。

Answer 2

(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
＝3－(cosA)^2-(cosB)^2-(cosC)^2
=2+2cosAcosBcosC
<2,
所以cosAcosBcosC<0,
cosA,cosB,cosC中有一个为负值或者三个(舍去),即为钝角△

其中用到了:
cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
证明：
(cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1
x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0
x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2
x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)]
x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2]
x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2]
x=-cosAcosB+-sinAsinB
x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B)
x=cosC或x=-cos(A-B)
所以
cosC是方程的一个根
所以
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1