Question

已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0，a∈R)（1）当a=1时，求函数f（x...

已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0，a∈R) （1）当a=1时，求函数f（x）在x=2处的切线斜率及函数f（x）的单减区间； （2）若对于任意x∈（0，e]，都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f(x)=-1x2+ax=ax-1x2，(x＞0)
当a=1时，f′(x)=x-1x2（1分）k=f′(2)=14（2分）
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1
所以，f（x）的单减区间为：（0，1）（4分）
（2）f′(x)=ax-1x2，(x＞0，a≠0)
令f′（x）=0，求得：x=1a（5分）
若对任意x∈（0，e]都有f（x）＞0等价于f（x）在（0，e]上的最小值＞0（6分）
①当x=(1a，e)＜0，即a＜0时，f′（x）＜0在x∈（0，e]上恒成立，
∴f（x）在（0，e]单调递减，∴f(x)min=f(e)=1e+a，，只需1e+a＞0，又a＜0
∴-1e＜a＜0（8分）
②当x=1a＞0，即a＞0时，
（i）若1a≥e，即0＜a≤1e，则f′（x）≤0在x∈（0，e]上恒成立，
∴f（x）在（0，e]单调递减，∴f(x)min=f(e)=1e+a＞0，∴0＜a≤1e（10分）
（ii）若1a＜e，及a＞1e
x(0，1a)1a(1a，e]f（x）-0+f′（x）单减极小值单增∴f(x)min=f(1a)=a+aln1a=a-alna＞0，∴1e＜a＜e（12分）
综上：a的取值范围为：(-1e，0)∪(0，e)（13分）