Question

设λ∈R，f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos2（π2-x）满足f...

设λ∈R，f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos2（π2-x）满足f（-π3）=f（0）． （1）求函数f（x）的对称轴和单调递减区间； （2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且cosAcosB=-ab+2c，求f（x）在（0，A]上的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）=λsinxcosx-cos2x+sin2x
=12λsin2x-cos2x，
∵f（-π3）=f（0），
∴λ=23…3分
∴f（x）=2sin（2x-π6），
对称轴为：x=kπ2+π3（x∈Z），…5分
∴f（x）=2sin（2x-π6）的单调递减区间为[kπ+π3，kπ+5π6]（k∈Z）…7分
（2）∵cosAcosB=-ab+2c，由正弦定理，可变形为：sin（A+B）=-2cosAsinC，
∴cosA=-12，
∴A=2π3------------（10分）
∴x∈（0，2π3]，
∴f（x）∈[-1，2]---------------（14分）