Question

空间四边形ABCD中,AD=BD,AC=BC M,N,P,Q是四边中点,求证MNPQ是矩形

空间四边形ABCD中,AD=BD,AC=BC M,N,P,Q是四边中点,求证MNPQ是矩形

Answer 1

此题有问题，应该是AB=BC，AD=DC
取AC中点O，连结BO,DO
因为AB=BC
因为O为AC中点
所以OB垂直AC
同理OD垂直AC
因为BO,DO交于O
所以AC垂直面BDO
因为BD在面BDO内
所以BD垂直AC
因为M,Q分别为AB,AD中点
所以MQ//BD且MQ=1/2*BD
同理NP//BD且NP=1/2*BD
所以MNPQ为平行四边形
因为P,Q为AD,CD中点
所以PQ//AC
因为MQ//BD
因为AC垂直BD
所以MQ垂直PQ
因为MNPQ为平行四边形
所以MNPQ为矩形
以下是按原题(错题)证明一半的题，以供参考，并说明题是有问题的。
证明:设空间四边形ABCD，M为AB中点，N为BC中点，P为CD中点，Q为AD中点，AD=BD，AC=BC
连结MC，DM
因为M为AB中点
因为AD=BD
所以DM垂直AB
同理MC垂直AB
因为MD,MC交于M
所以AB垂直面MDC
因为CD在面MDC内
所以AB垂直CD