Question

已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，求证MNPQ是平行四边形

Answer 1

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN‖AC，MN＝ AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ‖CA，PQ＝ CA．
∴MN‖QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC‖MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则，若ACα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα，∴AC‖α，
又AC α，∴AC‖α，即AC‖平面MNP．
同理可证BD‖平面MNP．

Answer 2

解：证明：（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=1/2AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ=1/2CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

（2）由（1），AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然AC⊄α．
否则，若AC⊂α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNÌα，∴AC∥α，
又ACËα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
又∵BD∥NP，BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP
∴BD∥平面MNP．

Answer 3

证明连接DB，QM‖PN‖DB，（中位线定理）同理，QP‖AC‖MN,所以MNPQ是平行四边形。