Question

f''(x)>=0，证明0<=t<=1，有f[(1-t)x1+tx2]<=(1-t)f(x1)+tf(x2)，

x∈(a,b),f(x)在(a,b)内二阶可导f''(x)≥0，证明0≤t≤1，有f[(1-t)x1+tx2]≤(1-t)f(x1)+tf(x2)。

Answer 1

取点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，连接AB，作直线L
x=(1-t)x1+tx2，交AB,x轴于C1，C2，直线AB在点x=(1-t)x1+tx2的函数值为y=(1-t)f(x1)+tf(x2)(这个是个几何问题，很好算的，自己作图算下吧)，曲线函数值为f[(1-t)x1+tx2]，由于f''(x)>=0，说明函数f(x)是凹函数，则必有y≥f[(1-t)x1+tx2]

Answer 2

不妨设x1
0
最后一次成立，证毕