Question

图像分析：边缘检测中的梯度算子

Answer 1

边缘检测 是基于边界的图像分割方法的第一步，边缘就是两个不同的相邻区域之间 灰度值 不连续或者突变的地方。因此，检测边缘就是，检测灰度明显变化的地方。而边缘位置处灰度的明显变化是可以借助计算灰度的微分来检测的。一般使用一阶微分和二阶微分检测边缘，在边缘位置，一阶微分的幅度值会有局部极值，二阶微分的幅度值会出现过零点。本文主要介绍边缘检测中的一阶微分算子----梯度算子，包括Roberts、Prewitt和Sobel三种算子。

想要计算梯度图，就要设计模板卷积，首先要搞明白图像在计算时的坐标系，很多博文对应的模板和坐标系都不匹配，我们在后面的卷积操作中主要使用计算坐标系。

左图Cameraman所用的坐标系统，常用在图像计算中。其坐标原点在左上角，x轴是水平的，并且向右延伸；y是垂直的，并且向下延伸。 既可以代表这幅图像，也可以表示 坐标处像素的值。

右图Lena的坐标系统，常用在屏幕显示中，因为屏幕扫描是从左向右，从上向下进行的，原点在图像的左上角，纵轴标记图像的行，横轴标记图像的列。 既可以代表这个图像，也可以代表 行列交点处的图像值。

首先我们要知道的是梯度是一个向量，向量的话有方向和大小，梯度方向指向函数变化最快的方向，大小就是它的模，也是最大的变化率。对于二元函数 ，它在点 的梯度就是 , 或者 ，就是：

其中， ，这个梯度向量的幅度和方向角为

下图展示了一个灰度图的数学化表达，像素点 的灰度值是 ,它有八个邻域。

图像在点 的梯度为

其中

即 对应图像的水平方向， 即 对应水图像的竖直方向。

要理解梯度图的生成，就要先了解模板卷积的过程。
模板卷积是模板运算的一种方式，其步骤如下：
（1）将模板在输入图像中漫游，并将模板中心与图像中某个像素位置重合；
（2）将模板上各个系数与模板下各对应像素的灰度相乘；
（3）将所有乘积相加（为保持灰度范围，常将结果再除以模板系数之和，后面梯度算子模板和为0的话就不需要除了）；
（4）将上述运算结果（模板的响应输出）赋给输出图像中对应模板中心位置的像素。

其实梯度图生成前面和模板卷积相同，不同的是要生成梯度图，还需要在模板卷积完成后计算在点 梯度的幅值，将幅值作为像素值，这样才算完。 。

下图是生成梯度图用到的的水平模板和竖直模板：

例如，如果只想生成水平方向的梯度图，那么只计算水平方向的梯度 ，则梯度图上对应点 的灰度值就是

一般是水平方向的 和竖直方向的 各用一个模板，然后结合，那么得到梯度图在点 的灰度值就是

它就是我们上面说到的梯度的幅值，是以计算以2为范数，对应欧式距离，由于涉及平方和开方运算，计算量比较大。（怎么简化计算呢？？换一种近似计算方式吧！！！）
在真实的梯度图输出计算中，采用以1为范数（对应城区距离）的简单计算方式，即

另一种简单的方式是以 为范数（对应棋盘距离），即

首先了解下梯度算子的设计，一般是水平方向和竖直方向，水平方向模板转置再对折就是竖直方向。

其本质是一个对角线方向的梯度算子，对应的水平方向和竖直方向的梯度分别为
输出梯度图在 的灰度值为
优点：边缘定位较准
缺点：（1）没有描述水平和竖直方向的灰度变化，只关注了对角线方向，容易造成遗漏。（2）鲁棒性差。由于 点本身参加了梯度计算，不能有效的抑制噪声的干扰。
适用于边缘明显且噪声较少的图像。

Prewitt算子是典型的 模板，其模板中心对应要求梯度的原图像坐标 ， 对应的8-邻域的像素灰度值如下表所示：

通过Prewitt算子的水平模板 卷积后，对应的水平方向梯度为

通过Prewitt算子的竖直模板 卷积后，对应的竖直方向梯度为

输出梯度图在 的灰度值为

Prewitt算子引入了类似局部平均的运算，对噪声具有平滑作用，较Roberts算子更能抑制噪声。

通过Prewitt算子的水平模板 卷积后，对应的水平方向梯度为

通过Prewitt算子的竖直模板 卷积后，对应的竖直方向梯度为

输出梯度图在 的灰度值为

Sobel算子引入了类似局部加权平均的运算，对边缘的定位比要比Prewitt算子好。

Python 调用OpenCV接口实现Sobel算子边缘检测