Question

二次函数的图像经过点（0，-2和（3，4）在X轴上两交点的距离是3求解析式。

Answer 1

设二次函数为y=ax²+bx+c
∵二次函数图像过点(0，-2)
∴-2=a·0²+b·0+c，则c=-2
同理：4=a·3²+b·3－2
9a+3b=6，则b=2－3a
令二次函数与x轴的交点分别是(x1，0) ， (x2，0)
∵二次函数在x轴上两交点的距离是3
∴|x1－x2|=3
两边平方：(x1－x2)²=9
(x1+x2)²－4x1x2=9①
由韦达定理得：x1·x2=c/a=-2/a
x1+x2=-b/a=-(2－3a)/a=3－2/a
代入①得：(3－2/a)²－4·(-2/a)=9
9 － 12/a + 4/a² + 8/a=9
4/a² － 4/a=0
(4/a)(1/a － 1)=0
∵a≠0
∴1/a － 1=0，则a=1
∴b=2－3a=2－3·1=-1
∴二次函数的解析式为y=x²－x－2