Question

三角形重心有什么性质

Answer 1

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。性质三、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。

现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。

四边形AFHE为圆内接四边形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB

由∠FAH=∠FCB得

四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。

点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

还可以通过向量证明。

已知△ABC的两条高AD,BE相交于H，连接CH，求证CH⊥AB

证明：设HA=a，HB=b，HC=c

则BC=c-b，AC=c-a，AB=b-a

∵HA⊥BC，∴a*（c-b）=0

即a*c=a*b

同理，b*c=a*b

∴a*c=b*c，即c*（b-a）=0

∴CH⊥AB

证法三：运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。

已知：△ABC中，AD,BE,CF是高。求证：AD,BE,CF相交于一点。

证明：过A作直线a∥BC,过B作直线b∥AC,过C作c∥AB，设a与b交点为C'，a与c交点为B’，b与c交点为A‘

∵AC’∥BC,AC∥BC'

∴四边形ACBC'是平行四边形

∴AC'=BC

同理，AB'=BC

∴AB'=AC',A是B'C'中点

∵AD⊥BC,BC∥B'C'，∴AD⊥B'C'，即AD是B‘C’的垂直平分线

同理，BE是A'C'的垂直平分线，CF是A'B'的垂直平分线

∵三角形三边的垂直平分线交于一点

∴AD,BE,CF交于一点