Question

当x趋近于正无穷时，求lim[x+根号（1+x^2)]^1/x的极限

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

∵lim(x->+∞)[ln(x+√(1+x^2))/x]

=lim(x->+∞)[1/√(1+x^2)] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)

=0

∴lim(x->+∞)[(x+√(1+x^2))^(1/x)]

=lim(x->+∞){e^[ln(x+√(1+x^2))/x]}

=e^{lim(x->+∞)[ln(x+√(1+x^2))/x]}

=e^0

=1

扩展资料

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 3

lim<x→+∞>[x+√(1+x^2)]^1/x 化为指数函数
= lim<x→+∞>e^{(1/x)ln[x+√(1+x^2)]}
= e^lim<x→+∞>ln[x+√(1+x^2)]/x (∞/∞, 用洛必达法则)
= e^lim<x→+∞>[1/√(1+x^2)]/1 = e^0 = 1