Question

概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)

Answer 1

进入主题前，先明确几个概念：
离散型变量（或取值个数有限的变量） ：取值可一一列举，且总数是确定的，如投骰子出现的点数（1点、2点、3点、4点、5点、6点）。
连续型变量（或取值个数无限的变量） ：取值无法一一列举，且总数是不确定的，如所有的自然数（0、1、2、3……）。

离散型变量取某个值xi的概率P(xi)是个确定的值（虽然很多时候我们不知道这个值是多少），即P(xi)≠0 ：例如，投一次骰子出现2点的概率是P(2)=1/6。

连续型变量取某个值xi的概率P(xi)=0 ：对于连续型变量而言， “取某个具体值的概率”的说法是无意义的，因为取任何单个值的概率都等于0 ，只能说 “取值落在某个区间内的概率” ，或 “取值落在某个值邻域内的概率” ，即 只能说P(a<xi≤b)，而不能说P(xi)。 为什么是这样？且看下例：
  例如，从所有自然数中任取一个数，问这个数等于5的概率是多少？从所有的自然数中取一个，当然是有可能取到5的，但是自然数有无穷多个，因此取到5的概率是1/∞，也就是0。
  又如扔飞镖，虽然是有可能落在靶心的，但其概率也是0（不考虑熟练程度等其他因素），因为靶盘上有无数个点，每个点的概率是一样的，因此落在某一个具体的点上的概率为1/∞=0。

根据前面的例子可知： 在连续型变量中：概率为0的事件是有可能发生的，概率为1的事件不一定必然发生。

概率分布 ：给出了所有取值及其对应的概率（少一个也不行）， 只对离散型变量有意义 。例如：

概率函数 ：用函数形式给出每个取值发生的概率，P(x)（x=x1，x2，x3，……）， 只对离散型变量有意义 ，实际上是对概率分布的数学描述。

答案就是“ 概率分布函数F(x) ”和“ 概率密度函数f(x) ”，当然这两者也是可以描述离散型变量的。

概率分布函数F(x)：给出取值小于某个值的概率，是概率的累加形式 ，即：
F(xi)=P(x<xi)=sum(P(x1),P(x2),……,P(xi))（对于离散型变量）或求积分（对于连续型变量，见后图）。
概率分布函数F(x)的性质 ：

概率密度函数f(x) ：给出了变量落在某值xi邻域内（或者某个区间内）的 概率变化快慢 ， 概率密度函数的值不是概率，而是概率的变化率，概率密度函数下面的面积才是概率 。

连续型变量的概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系（以正态分布为例） 如下图：
   对于正态分布而言，x落在u附近的概率最大，而F(x)是概率的累加和，因此在u附近F(x)的递增变化最快，即F(x)曲线在（u，F(u)）这一点的切线的斜率最大，这个斜率就等于f(u)。 x落在a和b之间的概率为F(b)-F(a)（图中的红色小线段），而在概率密度曲线中则是f(x)与ab围成的面积S。如下图所示：

我们知道f(a)表示，概率分布函数F(x)在a点的变化率(或导数)；其物理意义实际上就是x落在a点附近的无穷小邻域内的概率，但不是落在a点的概率（前已述及，连续变量单点概率=0），用数学语言描述就是：