Question

有理函数的积分

Answer 1

有理函数积分法是按一定步骤求有理函数不定积分的方法。

有理函数积分法是按一定步骤求有理函数不定积分的方法，求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。

有理函数的积分虽然形式上看起来最复杂，但理论上却是四种方法里最容易解决的。解法上，因其有明确的算法，解决起来十分机械。计算上：因其形式复杂，所以是所有方法中计算量最大的。

有理函数积分法的拆分：

第一步，用带余除法把油里函数写成一个多项式加一个真分式。

第二步，将真分式的分母分解因式，由于n次实系数多项式必有n个根，且复根出现时必然成对出现共轭复根。如果有一个实根，则可以分解出一个一次实系数多项式，有一对复根则可以分解出一个二次实系数多项。因此从理论上讲真分式的分母一定可以分解成一些一次实系数多项式与二次实系数多项式的乘积。

第三步，把分母分解为一次式(x-a)与二次式(x^2+px+q)的乘积以后，如何把真分式化为最简分式{共两种：A/(x-a)^i，(Ax+B)/(x^2+px+q)^i，其中i为正整数，A,B为待定系数}。

当分母的一次多项式(x-a)最多有k个时（即分母含有(x-a)^k），则这个真分式就可以分出k个最简分式A/(x-a)^i,i=1到k；同样当分母的二次多项式(x^2+px+q)最多有K个时（即分母含(x^2+px+q)^k），这这个真分式就可以分出k最简分式(Ax+N)/(x^2+px+q)^i,i=1到k。